《高等数学Ⅰ》考试大纲
第一部分：总要求
考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
第二部分：复习考试内容
一、 函数、极限与连续
（一）函数
1．知识范围
（1）函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数。
（2）函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。
（3）反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）函数的四则运算与复合运算。
（5）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
（6）初等函数
2. 要求
（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。了解分段函数的概念。
（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
（3）了解函数y=ƒ（x）与其反函数y=ƒ-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。
（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。
（6）了解初等函数的概念。
（7）会建立简单实际问题的函数关系。
（二）极限
1．知识范围
（1）数列极限的概念：数列，数列的极限。
（2）数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列的极限存在定理。
（3）函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）两个重要极限。
2．要求
（1）了解极限的概念，能根据极限概念分析函数的变化趋势。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）熟练掌握用极限的四则运算法则求极限的方法，理解极限的有关性质。
（3）了解无穷小量、无穷大量的概念，了解无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。了解无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）。
（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
（三）连续
1．知识范围
（1）函数连续的概念：函数在一点连续的定义，函数的间断点。
（2）函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。
（3）闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理）。
2．要求
（1）理解函数在一点连续与间断的概念，会判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。
（2）会求函数的间断点（含分段函数）。
（3）理解闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理（包括零点定理）推证一些简单命题。
（4）了解连续函数的性质及初等函数在其定义区间上的连续性。会利用连续性求极限。
二、一元函数微分学
（一）导数与微分
1．知识范围
（1）导数概念：导数的定义、导数的几何意义、可导与连续的关系。
（2）求导法则与导数的基本公式：导数的四则运算、基本初等函数的导数公式。
（3）求导方法：复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法。
（4）高阶导数的概念：高阶导数的定义，高阶导数的计算。
（5）微分：微分的定义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式不变性。
2．要求
（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系。掌握用定义求函数在一点处导数的方法。
（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数求导法则。会求反函数的导数。
（4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。
（5）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。
（6）理解函数的微分概念，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
（三）微分中值定理及导数的应用
1．知识范围
（1）中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（）中值定理。
（2）洛必达（L’Hospital）法则。
（3）函数增减性的判定法。
（4）函数极值与极值点，最大值与最小值。
（5）曲线的凹凸性、拐点。
（6）曲线的渐近线。
（7）曲率
2．要求
（1）理解解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义，会用拉格朗日中值定理证明某些简单的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。
（2）熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0•∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的极限方法。
（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。
（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。
（5）会用导数判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
（6）会求曲线的渐近线。
（7）了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
（8）会作出简单的函数图形。
三、一元函数积分学
（一）不定积分
1．知识范围
（1）不定积分的概念：原函数与不定积分的定义，原函数存在定理，不定积分的性质。
（2）基本初等函数的积分公式。
（3）换元积分法：第一换元法（凑微分法），第二换元法
（4）分部积分法。
（5）一些简单有理函数的积分。
2．要求
（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。
（2）掌握基本初等函数的不定积分公式。
（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
（5）会求简单有理函数的不定积分。
（二）定积分
1．知识范围
（1）定积分的概念：定积分的定义及其几何意义。
（2）定积分的性质。
（3）定积分的计算：变上限的定积分，牛顿一莱布尼茨（Newton - Leibniz）公式，换元积分法，分部积分法。
（4）广义积分的概念。
（5）定积分在几何上的应用：平面图形的面积、旋转体的体积、已知平行截面面积的立方体体积，平面曲线的弧长。
2．要求
（1）理解定积分的概念与几何意义，了解函数可积的条件。
（2）掌握定积分的基本性质，
（3）理解变上限的定积分的含义，掌握对变上限定积分求导数的方法。
（4）熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（6）理解广义积分，根据定义会求一些简单的广义积分。
（7）理解用元素法将实际问题表达成定积分的分析方法。
（6）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积的计算方法，会求简单的已知平行截面面积的立方体体积，会求平面曲线的弧长。
四、向量代数与空间解析几何
1．知识范围
（1）向量的概念
（2）向量的线性运算
（3）向量的数量积
（4）向量的向量积、向量平行的充分必要条件
2．要求
（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标上的投影。
（2）熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。
（3）熟练掌握二向量垂直、平行的充分必要条件。
（二）平面与直线
1．知识范围
（1）常见的平面方程
点法式、一般式方程
（2）两平面的位置关系（平行、垂直与斜交）
（3）点到平面的距离
（4）空间直线方程
对称式、参数式、一般是方程
（5）两直线的位置关系（平行、垂直）
（6）直线与平面的位置关系（平行、垂直、直线在平面上）
2．要求
（1）会求平面的点法式、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。会求两平面的夹角。
（2）会求点到平面的距离。
（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线垂直、平行。
（4）会判定直线与平面的位置关系（平行、垂直、直线在平面上）。
（三）简单的二次曲面
1．知识范围
球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面
2．要求
了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。
五、多元函数微积分学
（一）多元函数微分学
1．知识范围
（1）多元函数
多元函数的定义、二元函数的几何意义、二元函数极限与连续的概念
（2）偏导数与全微分
偏导数、全微分、二阶偏导数
（3）复合函数的偏导数
（4）隐函数的偏导数
（5）二元函数的无条件极值与条件极值
2．要求
（1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义、会求二元函数的表达式与定义域。了解二元函数的极限与连续的概念。
（2）理解偏导数的概念，了解偏导数的几何意义，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。
（3）掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。
（4）掌握复合函数一、二阶偏导数的求法。
（5）会求多元函数的全微分。
（6）掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。
（7）会求多元函数的无条件极值，会用拉格朗日数乘法求多元函数的条件极值。
（二）二重积分
1．知识范围
（1）二重积分的概念
二重积分的定义、二重积分的几何意义
（2）二重积分的性质
（3）二重积分的计算
（4）二重积分的应用
2．要求
（1）了解二重积分的概念与基本性质，理解二重积分的几何意义。
（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），能够根据积分域和被积函数的特点选择坐标系和积分次序，能正确地定出二次积分的积分限。
（3）会用二重积分解决简单的积分问题。
六、无穷级数
（一）数项级数
1．知识范围
（1）数项级数
数项级数的概念、级数的收敛与发散、级数的基本性质、级数收敛的必要条件
（2）正项级数收敛性的判别法
比较判别法、比值判别法、
（3）任意项级数
交错级数、绝对收敛、条件收敛、莱布尼茨判别法
2．要求
（1）理解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
（2）掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数和P——级数的收敛性，掌握正项级数的比较判别法和比值判别法，了解级数的根式判别法。
（3）掌握交错级数的莱布尼茨判别法。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及它们之间的关系。
（二）幂级数
1．知识范围
（1）幂级数的概念
收敛半径、收敛区间
（2）幂级数的基本性质
（3）将简单的初等函数展开成幂级数
2．要求
（1）了解幂级数的概念。
（2）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的求法。
（3）了解幂级数的基本性质（和函数的连续性，逐项微分和逐项积分）。
（4）掌握几个常用初等函数的麦克劳林展开式，并会利用这些展开式将一些简单函数间接展开成幂函数。
（三）傅里叶级数
1．知识范围
（1）三角级数的概念
三角级数的正交性
（2）傅里叶级数的概念
将函数展开成傅里叶级数
（3）正弦级数和余弦级数
（4）一般周期函数的傅里叶级数
2．要求
（1）理解解三角级数、傅里叶级数的概念。
（2）会将函数展开成傅里叶级数。
（3）了解正弦级数和余弦级数。
（4）了解一般周期函数的傅里叶级数。
七、常微分方程
（一）一阶微分方程
1.知识范围
（1）微分方程的概念
微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件和特解
（2）可分离变量的微分方程
（3）一阶线性微分方程
2.要求
（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解
（2）掌握可分离变量的微分方程的解法。
（3）掌握一阶线性微分方程解法。
（二）可降阶方程
1.知识范围
（1） 型方程
（2） 型方程
2.要求
（1）会用降阶法解 型方程
（2）会用降阶法解 型方程
（三）二阶线性微分方程
1.知识范围
（1）二阶线性微分方程解的结构。
（2）二阶常系数齐次线性微分方程。
（3）二阶常系数非齐次线性微分方程。
2.要求
（1）了解二阶线性微分方程解的结构。
（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数）。
（4）会用微分方程求解一些简单的应用问题。
第三部分：考试方式、时间及总分
考试方式：闭卷考试；
考试时间：120分钟；
总 分：100分。
第四部分：参考教材
《高等数学》（上、下册）同济大学应用数学系主编，同济大学出版社
《高等数学》（上、下册）（第四、五、六版）同济大学数学教研室编，高等教育出版社
